Квант №2, 2013

Лазерный резонатор (стр. 2–6)
А. Панов
Лазерный резонатор представляет собой простейшую оптическую систему — два расположенных друг против друга сферических зеркала. Луч, запущенный вдоль оси резонатора, в результате многократных отражений от зеркал так и будет двигаться вдоль оси. А что будет, если луч слегка отклонить от оси? Тут возможны два варианта. Луч может остаться в пространстве между зеркалами — в таком случае резонатор называют устойчивым. Но может случиться так, что отклонение луча от оси со временем будет увеличиваться и в какой-то момент луч будет выброшен из резонатора. В таком случае говорят о неустойчивом резонаторе.
Каков же критерий устойчивости резонатора? Изучение этого вопроса начинается с рассмотрения поведения светового луча в эллиптическом резонаторе. Обсуждаются траектории, идущие вдоль осей эллипса и проходящие через его фокусы. Выясняется, что вблизи большой оси эллипса есть два типа траекторий — одни лучи притягиваются к оси, другие отталкиваются от нее. Показывается, что траектория, идущая вдоль большой оси эллипса, неустойчива, а идущая вдоль малой оси — устойчива.
Описанный механизм работает и в случае лазерного резонатора, составленного из двух дуг на концах большой или малой оси эллипса. Выводится критерий устойчивости лазерного резонатора и дается его подтверждение с помощью компьютерного эксперимента.

Быстрее быстрого, или Можно ли обогнать бинарный алгоритм (стр. 7–15)
В. Журавлев, П. Самовол
Что общего между взвешиванием на чашечных весах и возведением в степень? В статье рассказано об алгоритмах позволяющих делать и то, и другое достаточно быстро. Дихотомия, бинарный метод, метод множителей и метод дерева степеней   вот неполный перечень алгоритмов активно используемых в настоящее время. Классические и новые результаты, олимпиадные задачи и нерешенные гипотезы иллюстрируют работу этих и других быстрых алгоритмов.

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ
Мог ли Галилей открыть закон всемирного тяготения (стр. 16–21)
Г. Горелик
Вниманию читателей предлагается отрывок из книги известного историка науки Геннадия Ефимовича Горелика «Новые слова науки — от маятника Галилея до квантовой гравитации». Эта книга будет опубликована в одном из приложений к журналу «Квант» в серии «Библиотечка «Квант».
Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, — один из фундаментальных законов физики. Ньютон утверждал, что притяжение между двумя массами пропорционально количеству вещества и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Он подтвердил эту догадку астрономическими наблюдениями, подытоженными Кеплером в его планетных законах. Величайшая заслуга Ньютона в том, что он вывел законы Кеплера из закона гравитации.
Галилей, конечно, мог смотреть на законы Кеплера как на изящные математические соотношения. Но он верил, что изучение законов природы на Земле поможет понять и законы планетных движений. На Земле Галилей открыл закон свободного падения тел и закон движения тела, брошенного под углом к горизонту. Он понимал, что результат получен в приближении «плоской Земли», и не знал, какова будет форма траектории в случае движения с большой начальной скоростью. Однако Галилей мог бы воспользоваться мысленным экспериментом, в чем был он большой мастак. И дальше автор проводит «за Галилея» эти мысленные рассуждения и показывает, что Галилей мог бы высказать гипотезу о том, что ускорение свободного падения при удалении от Земли изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. А это уже прямой намек на закон гравитации Ньютона. Но Галилей почему-то не пошел по этому пути…

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
Задачи М2294–М2300, Ф2300–Ф2307 (стр. 22–23)
Решения задач М2276–М2285, Ф2283–Ф2292 (стр. 23–31)

«КВАНТ» УЛЫБАЕТСЯ
Экзамен (стр. 31)

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»
Классические средние в треугольнике (стр. 32–33)
И. Кушнир
К классическим средним двух и более положительных чисел обычно относят арифметическое, геометрическое, квадратичное и гармоническое средние. В задачах этого калейдоскопа собраны конфигурации, в которых эти средние появляются в треугольниках: или ответ на задачу является каким-либо средним данных элементов, или средние величины входят в условие.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Задачи (стр. 34)
Показать

1. Магазин купил у производителя наборы фломастеров, и продает их по 100 рублей. Если покупатель приобретает сразу два набора фломастеров, то третий набор выдается ему в подарок. Известно, что магазин получает одну и ту же выгоду как от покупки одного набора, так и от покупки двух наборов. По какой цене магазин купил наборы фломастеров у производителя? А. Саблин
2. Вдоль стен квадратного бастиона треубовалось расставить 16 часовых. Комендант расставил их по 5 человек на стену, как показано на рисунке. Затем пришел полковник и велел расставить их по 6 человек на стену. А после этого пришел генерал и приказал расставить часовых по 7 человек на стену. И, наконец, явился маршал и приказал расставить часовых по 8 человек на стену. Коменданту удалось выполнить все эти приказы. Попробуйте и вы. Фольклор
3. У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдется монета в 1 рубль. Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдется монета в 2 рубля. Петя вытащил из кармана 5 монет. Можно ли точно сказать, что это за монеты? С. Дориченко
4. Вася подпилил все ножки у квадратной табуретки и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табуретка после этого стоит на полу пусть наклонно, но по-прежнему касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табуретку, однако нашел только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвертый кусочек? (Ножки крепятся к табуретке перпендикулярно сидению.) Г. Гальперин
5. На хоккейной площадке лежат три шайбы (не на одной прямой). Хоккеист бросает любую из шайб по прямой на любое расстояние, но так, чтобы она пролетала между двумя другими шайбами. Могут ли все шайбы оказаться на своих начальных местах после тринадцати бросков хоккеиста? Фольклор

Задачи в оригинале (pdf)

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ
Шайба, мяч и копье (стр. 38–39)
А. Стасенко
Вообразите себе казака, который «бросает и ловит копье на скаку». Всякий здравомыслящий школьник скажет, что копье при этом будет описывать параболу. Однако если учесть силу сопротивления воздуха, то траектория копья будет более сложной. А вот два хоккеиста скользят к воротам противника и один из них передает шайбу другому. Как описать скольжение шайбы по льду, который оказывает сопротивление движению шайбы, в неподвижной системе отсчета, связанной со льдом, и в движущейся системе, связанной с хоккеистами? Представим себе теперь двух баскетболистов, бегущих вдоль краев площадки. Пусть в какой-то момент один из них перебрасывает мяч другому через головы игроков. По какой траектории будет двигаться мяч, если учесть силу сопротивления воздуха? А если два самолета летят параллельными курсами и в какой-то момент из одного из них на другой перебрасывают новогодний подарок, то какую начальную скорость нужно сообщить этому подарку? Такую задачу может решить лишь компьютер или … опыт, накопленный в долгих тренировках.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Одной рукой узелок не развяжешь! (стр. 40–42)
А. Полянский
В статье идет речь об узлах, но вовсе не о тех, которые обычно мы завязываем у себя на кроссовках, фартуке, альпинистском снаряжении и т.д., а о целочисленных точках — узлом называется такая точка на координатной плоскости, что обе ее координаты целые. В рамках статьи разбираются несколько сложных задач, но при этом используются простые приемы.

ЛЮБОПЫТНО, ЧТО
Задачи на испытаниях зрелости в 1899 г. (стр. 42)
Сможете ли вы решить задачи, которые предлагались на испытаниях зрелости более века назад в реальном училище К.К. Мазинга?

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ
Многоликая тень (стр. 43–44)
В. Птушенко
Тени часто довольно точно передают форму предметов. Случается, конечно, что тень не совсем похожа на отбрасывающий ее объект. Но иногда тень просто ставит в тупик. Например, почему получаются четыре тени от трех сцепленных кресел? А откуда берутся пять теней от того же «предмета»? Оказывается, все дело в освещении помещения. Если лампы размещены по потолку периодически и этот период удачно согласуется с расстоянием между креслами в сцепленных тройках, то всегда получаются «лишние» тени. Почему это происходит, и обсуждается в статье.

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
Криволинейное движение в задачах (стр. 45–48)
В. Дроздов
Как движется свободное тело вблизи земной поверхности? Задачи на криволинейное равноускоренное движение у многих готовящихся к экзаменам школьников вызывают определенные затруднения. Как их преодолеть? Во-первых, не нужно запоминать множество ненужных формул и соотношений. Достаточно знать лишь две основные формулы: зависимости перемещения и мгновенной скорости тела от времени. Во-вторых, нужно уметь обращаться с векторными величинами. В-третьих, обязательна тренировка в решении таких задач. Причем это может быть и разбор с карандашом в руках уже решенных в статье задач, и самостоятельное решение предлагаемых упражнений.

ОЛИМПИАДЫ
Региональный этап XXXIX Всероссийской олимпиады школьников по математике (стр. 49–50)
Московская студенческая олимпиада по физике 2012 года (стр. 50–52)
В статье приводятся условия задач теоретического тура олимпиады для учащихся 9, 10 и 11 классов, а также ответы и краткие указания к решениям этих задач.
XIX Международная олимпиада школьников «Туймаада». Физика (стр. 53–54)
Международная олимпиада «Туймаада» по физике, математике, информатике и химии проводится в городе Якутске каждое лето вот уже почти 20 лет (с 1994 года). В статье рассказывается о физической части олимпиады, проходившей в июле прошлого, 2012 года. Приводятся избранные задачи теоретического тура и список дипломантов олимпиады.

Ответы, указания, решения (стр. 55–64)

КОЛЛЕКЦИЯ ГОЛОВОЛОМОК
Полное зацепление (2-я стр. обложки)
Е. Епифанов

ШАХМАТНАЯ СТРАНИЧКА
«Ломоносов» и чемпион мира (3-я стр. обложки)
Е. Гик

ПРОГУЛКИ С ФИЗИКОЙ
Почему хурма вяжет по рту? (4-я стр. обложки и стр. 39, 54)
К. Богданов
Во время еды кусочки пищи касаются языка, нёба, десен и зубов и движутся относительно них. А язык трется о разные участки полости рта. Чтобы облегчить это скольжение, во рту непрерывно выделяется слюна, служащая необходимой смазкой…
Хурма «не хочет» быть съеденной, пока ее семена не созреют. В хурме содержатся таннины — дубильные вещества, обладающие способностью связываться с белками и объединять их в конгломераты. В результате вязкость слюны резко возрастает, она превращается в клей, во рту становится сухо, и съесть несозревший плод представляется весьма трудным. Когда же хурма созреет, концентрация таннинов падает, и хурма уже не вяжет во рту.
Приятного аппетита!